О курсе

В курсе будут рассказаны основные понятия и концепции современной линейной алгебры. Я постараюсь изложить линейную алгебру не в стандартном варианте, когда, фактически, одни и те же вещи рассказываются несколько раз, а последовательно — усложняя используемые понятия и добавляя дополнительное оснащение и структуры в рассматриваемые пространства. Мы пойдем от понятия векторного пространства к различным вариантам их оснащения (сопряженное пространство, скалярное произведение, метрика и т.д.). Хотя таким образом усвоение курса может быть более трудным, однако это даст возможность слушателям составить более структурирование понимание курса и подготовит к дальнейшему освоению других разделов математики: дифференциальных уравнений, функционального анализа и т.д..

Первые 3 раздела ориентированы на всех, кому нужна линейная алгебра: программистов, специалистов по data science, экономистов и т.д.. Два последних раздела можно считать более продвинутыми, они расчитаны в первую очередь на студентов естественно-научных специальностей. Основной ход лекций будет дополнен дополнительными, которые призваны рассказать о важных сопутствующих математических понятиях.

Помимо лекций также будут семинарские занятия с решением задач и разбором теории.

  • Чему вы научитесь?

    Будут освоены основные понятия линейной алгебры: как теоретически, так и практически.

  • На кого ориентирован курс?

    Курс доступен всем, и не предполагает никаких знаний, помимо школьных. В первую очередь будет интересен студентам it и естественно-научных специальностей.

  • Пререквизиты

    Мотивация к изучению

Преподаватели

Программа

01

* Векторные пространства и линейные отображения. Основные примеры: $\R^n$, полиномы, плоскость и трехмерное пространство, матрицы. Понятие линейного оператора.
* Подпространства. Базисы, размерность, линейные оболочки. Дополнение базиса подпространства. Фактор-пространство. Определитель, ранг матрицы.
* Линейные операторы. Матричная запись линейного оператора (изоморфизм между пространством матриц и пространством линейных операторов, его зависимость от выбора базиса).
* Линейные функционалы. Композиции линейных операторов и умножение матриц. Обратные матрицы.

Дополнительная лекция: комплексные числа, алгебраические уравнения.

02

* Собственные векторы, собственные подпространства. Теорема Гамильтона-Кэли.
* Инвариантые подпространства, корневые подпространства. Нильпотентные операторы.
* Теорема о жордановой нормальной форме. Описание с помощью ЖНФ различных классов операторов: проекторы, нильпотентные операторы, решение уравнений, функции от матриц. Теорема Вейера.

Дополнительная лекция: Оценка сложности алгоритмов, вычисления.

03

* Билинейные и квадратичные формы. Сигнатура, Скалярное произведение. Критерий Сильвестра, теорема Якоби.
* Алгебра Грассмана, детерминант.
* Метрика. Изометрии, ортогональные матрицы.
* Матричные нормы (операторная, Фробениуса).
* Алгебра операторов. Псевдообратные матрицы. Сопряженные операторы.
* Декомпозиции: LU, SVD разложения и другие.
* Алгебры Ли.

Дополнительная лекция: теория групп, матричные группы

04

* Сопряженные пространства, линейные функционалы.
* Тензоры, алгебра тензоров. Перевод рассмотренных ранее конструкций на тензорный язык.
* Разложимые тензоры, координаты тензора.
* Внешнее и внутреннее произведение.

Дополнительная лекция -- комплекс де Рама.

05

* Категории, группоиды. Основные примеры категорий.
* Функторы, кофункторы, естественные отображения.

[1] Винберг Э.Б., Курс алгебры
[2] Ильин В.А., Позняк Э.Г., Линейная алгебра
[3] Кострикин А.И., Манин Ю.И., Линейная алгебра и геометрия
[4] Кострикин А.И., Введение в алгебру
[5] Ленг С., Алгебра
[6] Маклейн Дж., Категории для работающего математика
[7] Арутюнов А.А., Ершов А.В., Дополнительные задачи по ли-
нейной алгебре
[8] S. Axler., Linear Algebra Done Right
[9] А.В. Ершов, Тензоры

скачать программу

Поступающим

Как подать заявку на курс?