О курсе
Квадратные уравнения известны многим и кажутся маленькой частью школьного курса математики. Но такая ли уж она маленькая?
-
Чему вы научитесь?
Мы начнём с вопроса, какие натуральные числа и сколькими способами представимы в виде суммы квадратов целых чисел. Затем перейдём к целым гауссовым числам и кватернионам. По ходу дела возникнут дерево Маркова, алгоритм Евклида и цепные дроби, дерево Штерна-Броко, ряды Фарея и круги Форда. Обсудим малую теорему Ферма и разложения обыкновенных дробей в периодические, функции Эйлера и Мёбиуса, квадратичные вычеты и невычеты, многочлены деления круга и гауссовы суммы, p-адические числа и многомерные решётки.
Всякий раз новые понятия и задачи будут возникать совершенно естественным образом. Например, ответить на вопрос о том, какие числа представимы в виде суммы квадратов трёх целых чисел, удастся только после доказательства теоремы Минковского-Хассе о p-адических числах и теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. Хотя казалось бы, почему для двух или четырёх квадратов разобраться легко, а для трёх — сложно?
Многие теоремы будем доказывать по несколько раз, иногда совершенно неожиданными способами. Большую часть курса может понять школьник, однако ближе к концу всё-таки понадобится умение работать со степенными рядами и функциями комплексной переменной. Курс максимально конкретный, с большим числом примеров и упражнений.
Преподаватели
-
Александр Спивак
Спивак Александр Васильевич — педагог дополнительного образования Дворца пионеров (Москва), преподаватель Малого мехмата МГУ.
Программа
1. Когда сумма квадратов трёх натуральных чисел делится на их произведение? Дерево Маркова.
2. Сумма двух квадратов. Первое дополнение к квадратичному закону взаимности. Теорема Ферма-Эйлера.
3. Основная теорема арифметики. Алгоритм Евклида. Цепные дроби. Дерево Калкина-Вилфа-Штерна-Броко. Ряды Фарея, круги и сферы Форда.
4. Целые гауссовы числа. Числа Эйзенштейна. Количество представлений натурального числа в виде суммы квадратов двух целых чисел.
5. Теорема Минковского о выпуклом теле. Решётки, определитель матрицы.
6. Сумма четырёх квадратов. Кватернионы Гурвица. Метод бесконечного спуска. Сумма четвёртых степеней натуральных чисел не является квадратов, а сумма кубов двух натуральных чисел не куб.
7. Малая теорема Ферма. Порядок элемента, взаимно простого с модулем, по этому модулю.
8. Деление уголком и разложение обыкновенной дроби в периодическую дробь.
9. Теорема Безу. Теорема Гаусса о первообразном вычете. Китайская теорема об остатках. Строение группы вычетов по составному модулю.
10. Символы Лежандра и Якоби, квадратичный закон взаимности и второе дополнение к нему. Гауссовы суммы.
11. Уравнения Пелля.
12. Действие группы GL(2,Z) на множестве квадратичных форм. Базисы, карта Конвея. Реки и озёра, положительно определённые, полуопределённые и неопределённые квадратичные формы.
13. Области Вороного-Дирихле.
14. Цепные дроби. Подходящие дроби как наилучшие приближения. Теоремы Лагранжа и Галуа о квадратичных иррациональностях.
15. p-адические числа. Метод касательных Ньютона и лемма Гензеля.
16. Теорема Островского о пополнениях поля рациональных чисел.
17. Теорема Витта.
18. Символ Гильберта и его свойства.
19. Теорема Минковского-Хассе.
20. Сумма трёх квадратов, сумма трёх треугольных чисел. Представимость в виде суммы трёх квадратов целых чисел целого числа, представимого в виде суммы трёх квадратов рациональных чисел.
21. Теорема Дирихле о группе обратимых элементов кольца целых алгебраических чисел конечного нормального расширения поля рациональных чисел.
22. Гауссова композиция квадратичных форм. Идеалы кольца целых алгебраических чисел конечного расширения поля рациональных чисел.
23. Гауссовы биномиальные коэффициенты и точное значение гауссовой суммы. Тройное произведение Гаусса-Якоби.
24. Многомерные решётки. Системы корней и группы отражений.
25. Характеры и ряды Дирихле. Теорема о простых числах в арифметической прогрессии.
- Спивак. «Арифметика» и «Арифметика-2»
- Боревич, Шафаревич «Теория чисел»
- Конвей «Квадратичные формы, данные нам в ощущениях»
- Айерлэнд, Роузен «Классическое введение в современную теорию
чисел» - Дирихле «Лекции по теории чисел».
- Гаусс «Арифметические исследования»
- Хассе «Лекции по теории чисел»
- Виноградов «Основы теории чисел»
- Серр «Курс арифметики»
- Касселс «Рациональные квадратичные формы»
Поступающим
Как подать заявку на курс?
-
Написать мотивационное письмо
В мотивационном письме студент должен пояснить зачем ему нужен курс, как он в дальнейшем планирует использовать полученные знания.
Рекомендации для мотивационного письма →